KINEMATYKA

Najczęściej spotykanym zjawiskiem w przyrodzie jest ruch. Najprostszą postacią ruchu jest ruch mechaniczny, a polega on na zmianie wzajemnego położenia ciał (lub ich części) w przestrzeni. Na początku naszych rozważań będziemy zajmować się tzw. mechaniką klasyczną, czyli interesował nas będzie ruch ciał o stosunkowo dużych rozmiarach (w porównaniu do atomów) poruszających się z prędkością znacznie mniejszą od prędkości światła. Prawa ruchu ciał poruszających się z prędkościami porównywalnymi do prędkością światła są przedmiotem badań mechaniki relatywistycznej, natomiast takich ciał jak np. elektrony (cząsteczki elementarne) opisuje mechanika kwantowa.

Ruch

Ruchem nazywamy zmianę położenia ciała w czasie względem przyjętego układu odniesienia (układu współrzędnych).
Najczęściej układem odniesienia jest Ziemia lub inne ciało, które względem niej nie porusza się.
Jeżeli położenie ciała względem przyjętego układu nie zmienia się to ciało pozostaje w spoczynku, jeżeli zaś ulega zmianie to znajduje się w stanie ruchu względem tego układu.
Ruch i spoczynek jest pojęciem względnym. Oznacza to, że w zależności od wybranego układu odniesienia, to samo ciało w tym samym czasie może znajdować się w spoczynku lub poruszać się i to w różny sposób np.  człowiek jadący samochodem jest w stanie spoczynku względem samochodu, ale porusza się względem drogi.

Układ odniesienia

Opisując ruch jakiś ciał możemy to zrobić jedynie w odniesieniu do innych ciał. Kiedy mówimy, że jakiś obiekt znajduje się w jadącym pociągu, to łatwo zauważyć, że porusza się on względem torów, ale pozostaje w spoczynku względem ścian wagonu. Zawsze więc ruch opisujemy względem układu odniesienia. A układ odniesienia możemy "związać" z dowolnym ciałem. Dla uproszczenia obliczeń układ odniesienia przedstawia się za pomocą kartezjańskiego układu współrzędnych. Wygodnie jest wówczas ustalić początek układu współrzędnych w miejscu obiektu względem którego opisujemy ruch. Wówczas jeżeli punkt O oznacza początek układu współrzędnych, punkt P₁ jest punktem początkowego położenia ciała, punkt P₂ jest punktem końcowego położenia ciała to:

- Wektor  (o początku w punkcie O i końcu w punkcie P₁) nazywany jest wektorem położenia początkowego

- Wektor  (o początku w punkcie O i końcu w punkcie P₂) nazywamy wektorem położenia końcowego

- Wektor  (o początku w punkcie P₁ i końcu w punkcie P₂) nazywamy wektorem przesunięcia (przemieszczenia). Jest to różnica wektora położenia końcowego i początkowego

Punkt materialny

W celu uproszczenia zapisów lub dla ułatwienia zrozumienia danego problemu stosuje się czasami abstrakcyjne modele. Takim modelem jest punkt materialny. A nazywamy nim ciało posiadające masę, którego rozmiary można pominąć w rozważanym zagadnieniu, bez szkody dla tych rozważań.

Tor ruchu

Torem (trajektorią) nazywamy krzywą lub prostą zakreśloną w przestrzeni przez poruszający się punkt. Długość toru nazywamy drogą (s). Jeżeli tor jest linią prostą to mówimy, że ciało porusza się ruchem prostoliniowym. Jeżeli tor jest krzywą to ciało porusza się ruchem krzywoliniowym. Nie powinniśmy mylić toru ze śladem. Tor jest pojęciem abstrakcyjnym, nie można go zobaczyć, jest nieskończenie cienki.

Podział ruchu

Ze względu na prędkość ruch możemy podzielić następująco:

·         jednostajny

·         zmienny

o        jednostajnie

o        niejednostajnie

Ze względu na tor, ruch dzielimy na:

·         prostoliniowy (ciało porusza się po prostej)

·         krzywoliniowy (ciało porusza się po krzywej np. po okręgu)

RUCH JEDNOSTAJNY PROSTOLINIOWY

Ruchem jednostajnym prostoliniowym nazywamy taki ruch, w którym ciało w równych odcinkach czasu pokonuje równe odcinki drogi, a torem ruchu jest linia prosta.

Prędkość to wielkość wektorowa wyrażająca zmianę położenia ciała w czasie. Jej wartością jest szybkość. Jednostką [v[ = [m/s]

Bardzo ważnym pojęciem stosowanym w mechanice jest prędkość (szybkość). Szybkością (wielkość skalarna) nazywamy stosunek przebytej drogi do czasu. Prędkością średnią (wielkość wektorowa) nazywamy stosunek przemieszczenia do czasu

             - definicja szybkości

           - definicja wektorowa prędkości

Ruch jednostajny prostoliniowy jest ruchem, w którym ciało porusza się ze stałą prędkością (v), czyli ciało pokonuje takie same odcinki drogę (przemieszczenie - s) w każdej jednostce czasu . Aby można było mówić o ruchu jednostajnym na ciało nie może działać żadna siła lub siły, które na nie działają muszą się wzajemnie równoważyć (w tym ruchu spełniona jest I zasada dynamiki Newtona).
Prędkość jest wielkością wektorową, kierunek i zwrot jej wektora jest zawsze taki sam jak wektora przemieszczenia. Prędkość ciała i  w tym ruchu liczymy ze wzoru: , a przebytą drogę .

gdzie:
s - przebyta droga w  [m], [km]
t - czas ruchu w [sek], [h]
v - prędkość w [m/s], [km/h]

Wykresy drogi i prędkości w tym ruchu:

Wykres prędkości od czasu ruchu jest linią prostą równoległą do osi OX (prędkość jest stała), a drogę jaką pokonuje ciało jest proporcjonalna do czasu trwania ruchu, możemy obliczyć jako pole figury pod wykresem.

RUCH JEDNOSTAJNIE ZMIENNY

Kiedy prędkość ruchu zmienia się, tzn. rośnie lub maleje, ruch taki nazywamy ruchem zmiennym. Jeśli wartość prędkości rośnie, ruch nazywamy przyspieszonym, a jeśli maleje - opóźnionym.
W ruchu zmiennym występuje przyspieszenie, które definiujemy jako stosunek przyrostu prędkości do czasu, w którym on nastąpił i oznaczamy symbolem a. Jednostką przyspieszenia jest [a] = [m/s²].

Jest to wielkość wektorowa (kierunek wektora przyspieszenia jest zgodny z kierunkiem wektora przyrostu prędkości). Wartość przyspieszenia liczymy ze wzoru:

Jeśli przyspieszenie ma wartość dodatnią, to ruch jest przyspieszony, jeśli ujemną, to ruch jest opóźniony. Jeśli wartość przyspieszenia jest równa zeru, to ruch jest jednostajny.
Jeżeli zwroty wektorów przyspieszenia i prędkości są zgodne to ruch jest ruchem przyspieszonym, a jeżeli przeciwne to opóźnionym.

Jeśli przyspieszenie jest stałe a = const (rys.4), to ruch nazywamy ruchem jednostajnie zmiennym. Ruch jednostajnie zmienny może być ruchem:

- jednostajnie przyspieszonym, kiedy a > 0
- jednostajnie opóźnionym, kiedy a < 0.

Do opisu ruchu jednostajnie zmiennego korzystamy z następujących równań:
v = a t  - wartość prędkości w ruchu jednostajnie przyspieszonym po czasie t , prędkość początkowa równa zero (rys.1)

v = - a t  - wartość prędkości w ruchu jednostajnie opóźnionym po czasie t (minus oznacza przeciwny zwrot wektora przyspieszenia)(rys.5)

- wartość prędkości końcowej (po czasie t) w ruchu jednostajnie przyśpieszonym z prędkością początkową (rys.2)

- wartość prędkości końcowej (po czasie t) w ruchu jednostajnie opóźnionym z prędkością początkową (rys. 6)

- droga w ruchu jednostajnie przyśpieszonym bez prędkości początkowej (rys.3)

- droga w ruchu jednostajnie przyśpieszonym z prędkością początkową

- droga w ruchu jednostajnie opóźnionym z prędkością początkową

- przemieszczenie ciała od początku układu odniesienia w ruchu jednostajnie przyśpieszonym

- przemieszczenie ciała od początku układu odniesienia w ruchu jednostajnie opóźnionym

Wykresy drogi, prędkości i przyspieszenia w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

Do wyprowadzenia wzoru na drogę jaką ciało pokonało poruszając się ruchem jednostajnie przyspieszonym możemy posłużyć się wykresem prędkości od czasu (rys.1) - założymy ze prędkość na początku ruchu jest równa zero (czyli ciało rusza z miejsca z przyspieszeniem a). Drogę możemy obliczyć jak pole figury pod krzywą prędkości na wykresie v(t), w tym wypadku jest to trójkąt, więc:

podstawiając wzór na prędkość w tym ruchu v = a t  otrzymujemy końcową formę tego wzoru:

Jeżeli ciało poruszało się już z jakąś prędkością (v₀ - prędkość początkowa) i przyspieszyło do prędkości końcowej (v_k) to wzór na drogę policzymy (patrząc na wykres (rys.2); figura pod prostą składa się z prostokąta, którego boki tworzą prędkość v₀ i czas t oraz trójkąta o podstawie t i wysokości v_k-v₀, zatem:

s = v₀t + (v_k-v₀) t/2,  v_k-v₀ = v t,

a prędkość w tym ruchu v = a t  otrzymujemy:

Równanie ruchu przedstawia się następująco:

W ruchu jednostajnie opóźnionym występuje a - opóźnienie, które określa o jaką wartość zmniejszy się prędkości w jednostce czasu  . W tym ruchu wektor przyśpieszenia ma zwrot przeciwny do wektora prędkości, ale zgodny z kierunkiem i zwrotem wektora siły wypadkowej. W tym ruchu spełniona jest II zasada dynamiki Newtona. Opóźnienie możemy obliczyć wzorem:

Wzory na drogę w tym ruchu wyznaczamy w oparciu o tą sama zasadę co dla ruchu jednostajnie przyspieszonego  pamiętając, że przyspieszenie (opóźnienie) ma znak ujemny (przyrost prędkości maleje).

RUCH PO OKRĘGU

Ruch po okręgu jest przykładem ruchu zachodzącego w dwóch wymiarach. Przy czym (oczywiście)
torem ruchu po okręgu jest okrąg.

Prędkość kątowa

Podczas ruchu po okręgu wraz z przebywaną drogą ∆L, zmienia się kąt pod jakim obserwowany jest poruszający się obiekt  ∆α, dlatego celowe jest wprowadzenie wielkości charakteryzującej szybkość zmiany kąta. Wielkością tego rodzaju jest tzw. prędkość kątowa. Oznaczamy ją ω (mała grecka litera omega).

ω - prędkość kątowa (układzie SI w rad/s, lub 1/s = 1 s^-1)
∆α - kąt zakreślony przez promień wodzący (w radianach)
∆t - czas w jakim odbywa się ruch, lub jego fragment (w układzie SI sekundach s).

Prędkość kątowa jest równa kątowi zakreślonemu podczas ruchu podzielonemu przez czas.

Jednostki prędkości kątowej

Prędkość kątowa w jednostkach układu SI wyrażana jest w radianach na sekundę:

[ω] = rad/s = 1/s

Przykład

Płyta gramofonowa winylowa obracając się z prędkością 33 obr./min ma prędkość kątową równą:

ω = 33 ∙ 2 ∙ π / 60 s = 11 ∙ π / 10 ≈ 3,455751 rad/s.

Przyjęto :

Δα = 33 obr ∙ 2 ∙ π
t = 1 min = 60 s

Ruch jednostajny po okręgu

Jeżeli prędkość kątowa punktu poruszającego się po okręgu nie zmienia się, to ruch nazywamy ruchem jednostajnym po okręgu.

W takim ruchu prędkość liniowa oczywiście też się nie zmienia.  

Przykładem ruchu jednostajnego po okręgu może być ruch paproszka leżącego na obracającej się płycie gramofonowej, lub ruch obiektu leżącego na powierzchni obserwowany z bieguna ziemskiego w układzie nie obracającym się wraz z Ziemią (np. wtedy, gdy jedna oś układu odniesienia cały czas jest zwrócona na Słońce lub odległą gwiazdę).

w ruchu jednostajnym po okręgu ω  = const

W ruchu jednostajnym po okręgu przyspieszenie (jako wektor) nie jest równe zero, mimo że wartość prędkości nie zmienia się. Z dwóch składowych przyspieszenia: stycznej i normalnej tylko jedna ma wartość zero.

·        składowa styczna (zmieniająca wartość prędkości) ma wartość zero

·        składowa normalna (zmieniająca kierunek prędkości) jest niezerowa,

Jest tak, ponieważ kierunek prędkości ulega ciągłej zmianie - prędkość musi być ciągle zakrzywiana do środka okręgu.

Dlatego z ruchem jednostajnym po okręgu związana jest stała wartość przyspieszenia nazywanego przyspieszeniem dośrodkowym.

Okres ruchu po okręgu

Okres ruchu po okręgu (T) jest to czas, po którym punkt materialny wykona jeden pełny obieg całego okręgu. Jednostką okresu jest sekunda (minuta, godzina...)
 [T] = s

Jeżeli punkt materialny wykonuje N obiegów okręgu w ciągu czasu t, wtedy oczywiście okres dany jest wzorem:

Znaczenie symboli:

T – okres ruchu (w sekundach s)
N – ilość wykonanych (również niepełnych, wtedy liczba będzie ułamkiem) okrążeń okręgu (liczba niemianowana)
t - czas w jakim odbywa się ruch, lub jego fragment (w sekundach s)

Częstotliwość ruchu obrotowego i ruchu po okręgu

Częstotliwość (f) jest to ilość obiegów okręgu wykonanych w jednostce czasu.

Jednostką częstotliwości jest jeden herc [f] = Hz = 1/s

Jeżeli punkt materialny wykonuje N obiegów okręgu w ciągu czasu t, to częstotliwość wyliczymy ze wzoru:

Znaczenie symboli:

f – częstotliwość (w Hz = 1/s = s^-1)
N – ilość wykonanych (również niepełnych - wtedy pojawi się ułamek) okrążeń okręgu (liczba niemianowana)
t - czas w jakim odbywa się ruch, lub jego fragment (w sekundach s)

Związek między okresem i częstotliwością ruchu po okręgu

Z porównania obu tych definicji wynika, że:

Użyteczne też mogą być wzory wyrażające prędkość kątową w ruchu po okręgu za pomocą częstotliwości, lub okresu:

ω = 2 π f

Przyspieszenie dośrodkowe

Jak już wcześniej zostało napisane w każdej chwili wektor prędkości zmienia zwój kierunek. Musi zatem istnieć jakieś przyspieszenie które zmienia tą prędkość. Wartość tej prędkości (szybkość) nie ulega zmianie, więc przyspieszenie musi działać tak by zmienić kierunek, ale pozostawić wartość niezmienioną. Przyspieszenie dośrodkowe oznaczamy symbolem a_r.