GRAWITACJA

 

 

Zjawisko grawitacji jest spoiwem Wszechświata - jest podstawową siłą działającą pomiędzy dużymi ciałami - w szczególności ciałami niebieskimi. Jest siłą powszechną, obecną w dowolnym zakątku kosmosu.

Jednak w naszym typowym ludzkim otoczeniu siła ta jest dostrzegana wyłącznie jako przyciąganie otaczających nas  przedmiotów przez ziemski glob, czyli przez zjawisko ciężaru.

 

 

Wzór Newtona na siłę grawitacji

 

Wzór Newtona na siłę grawitacji obowiązuje dla dowolnych ciał obdarzonych masą.

 

 

m1, m2 - masy oddziaływujących grawitacyjnie ciał
r - odległość między środkami ciał
G - stała grawitacji,  G = 6.67·10-11Nm2/kg2.

 

Słowne sformułowanie prawa grawitacji powszechnej

 

Siła grawitacji działająca między dwoma ciałami jest wprost proporcjonalna do iloczynu mas oddziaływujących ciał i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami.

 

Uwagi do wzoru na siłę grawitacji

 

Opisywana postać wzoru (prawa) odnosi się do dwóch ciał punktowych lub kulistych (ściślej o tzw. kulistosymetrycznym rozkładzie masy).
Prawo grawitacji Newtona jest prawem przybliżonym - dla bardzo dużych mas i małych odległości między nimi może ujawnić się odchylenie od opisywanego wzoru. Przewiduje to ogólna teoria względności Einsteina. 

Do omawianego wzoru stosuje się oczywiście 3 zasada dynamiki Newtona, co oznacza, że oba ciała się przyciągają tą samą siłą. Dlatego nie ma sensu pytać o to, czy to lżejsze ciało "bardziej" przyciąga cięższe, czy odwrotnie...

 

Wektorowa postać wzoru na siłę grawitacji

 

Wektorowa postać wzoru oprócz informacji o wartości siły grawitacji przekazuje również dane o kierunku tej siły.

Przedstawiony poniżej wzór opisuje sytuację, w której środek układu współrzędnych znajduje się w jednej z mas podlegających oddziaływaniu. 
Od wzoru skalarnego różni się on dodatkiem "kierunkowym" (iloraz wektora wodzącego przez długość tego wektora) oraz znakiem minus.

 

 

Na powyższym rysunku wektor wodzący  został przeniesiony pod rysunek kulek symbolizujących masy. Wynika to wyłącznie z wymogów czytelności, gdyż typową sytuacją byłoby umieszczenie wektora wodzącego na tej samej linii, co wektora siły grawitacji Fgr .

Wektorowa postać wzoru oprócz informacji o wartości siły grawitacji przekazuje również dane o kierunku tej siły. Wzór poniższy opisuje sytuację, w której środek układu współrzędnych znajduje się w jednej z mas podlegających oddziaływaniu. 
Od wzoru skalarnego różni się on dodatkiem "kierunkowym" (iloraz wektora wodzącego przez długość tego wektora) oraz znakiem minus.

 

 

W tym wzorze minus związany jest faktem, że siła działa przeciwnie do zwrotu promienia wodzącego.

 

Natężenie pola grawitacyjnego


Wyobraźmy sobie przestrzeń w kosmosie oddaloną od wszelkich ciał. Jeżeli w punkcie tej przestrzenie umieścimy masę próbną, to zgodnie z przewidywaniami nie będzie działać na niego żadna siła. Jeżeli zaś umieścimy tę masę próbną blisko jakiegoś obiektu, np. planety, to na ciało oczywiście będzie działać siła. Przy czym siła ta nie jest wywołana bezpośrednim kontaktem planety i tej masy próbnej. Planeta oddziaływuje na niego "na odległość". Mówimy, że ciało (w naszym przykładzie planeta) o masie "M" wytwarza pole grawitacyjne, które zmienia właściwości przestrzeni wokół siebie w ten sposób, że jeżeli w tym polu umieścimy ciało o masie "m" to zadziała na nie siła określona prawem ciążenia.

Polem grawitacyjnym nazywamy więc własności przestrzeni, które informują nas jaka siła będzie działać na ciało "m" kiedy je tam umieścimy. Z takiego rozumowania uzyskujemy zależność:

Patrząc na tę wielkość z innej strony możemy powiedzieć, że natężenie pola grawitacyjnego w danym punkcie przestrzeni jest równe liczbowo wartości siły grawitacyjnej działającej na ciało o masie 1 kg umieszczone w tym punkcie.

Zobaczmy jakim wzorem wyraża się natężenie pola grawitacyjnego i jaka jest jego jednostka:

Jednostka natężenia pola:

Widzimy, że jednostka jest taka sama jak jednostka przyśpieszenia. Okazuje się, że wartość natężenia pola w danym punkcie przestrzeni równa jest liczbowo także przyśpieszeniu grawitacyjnemu jakie uzyska to ciało po umieszczeniu go w tym punkcie przestrzeni.

Z tej własności wiemy jaki jest natężenie pola grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi:

 

Linie pola grawitacyjnego


W naszych rozważaniach używamy zwykle dwóch rodzajów pól grawitacyjnych: jednorodnych i centalnych. Omawiając pola niesposób niewspomnieć o liniach pola. Są to kierunki do których styczne są wektory sił grawitacyjnych. Przy powierzchni Ziemi mamy do czynienia z jednorodnym polem grawitacyjnym. Na każde ciało które posiada masę działa siła, której wektor ma kierunek pionowy. Więc wszystkie linie pola grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi wyznaczają pion.

 

 

Ale jeżeli patrzymy na Ziemię z daleka lub traktujemy ją jako punkt materialny, to zauważymy że wektor siły działającej na ciało znajdujące się nad biegunem będzie prostopadły do wekora siły działającej na ciało znajdujące się nad równikiem. Jeżeli narysujemy wiele takich linii to uzyskamy efekt promienii rozchodzących się ze Słońca. W środku źródło pola grawitacyjnego, a dookoła niego promieniście rozłożone linie tego pola.

 

Praca w polu grawitacyjnym


Wykonajmy pewne doświadczenie myślowe. Zadaniem tego doświadczenia będzie wykonanie pracy polegającej na przemieszczeniu ciała z punktu A do punktu B, przy czym oba punkty znajdują się w jednym pionie ale na różnych wysokościach (punkt A leży pod punktem B). Krótko mówiąc będziemy podnosić ciało i obliczymy pracę. Ciało przemieszczamy ruchem jednostajnym prostoliniowym, a siła jaką działamy równa jest co do wartości sile grawitacji. W miarę zwiększania wysokości siła ta jest coraz mniejsza. Więc siła jaką działamy na początku (w punkcie A) jest większa od tej której używamy na końcu drogi (w punkcie B). Siła maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości więc wyliczając średnią siłę posłużyć się musimy tzw. średnią geometryczną:

 

 

Gdzie:
FA - siła działająca w punkcie A
FB - siła działająca w punkcie B
rA i rB - odległość od źródła pola grawitacyjnego punktów A i B
M - masa źródła pola grawitacyjnego
m - masa ciała nad którym wykonujemy pracę.

Obliczmy zatem wykonaną pracę:
α - kąt między wektorem średniej siły a wektorem przesunięcia

Zauważmy, że kąt α=0° więc cos(α)=1, gdybyśmy ciało opuszczali z punktu B do punktu A to α=180° a cos(α)=-1, więc praca miała by wartość ujemną. Uniwersalny wzór, niezależnie od tego czy opuszczamy ciało, czy podnosimy wygląda następująco:

 

 

Praca jest dodatnia jeżeli ciało podnosimy, a ujemna jeżeli ciało opuszczamy.

Z ostatniego wzoru wynika, że praca nie zależy od drogi po jakiej poruszało się ciało gdy wykonywaliśmy pracę nad nim. Zależy jedynie od punktu początkowego i końcowego. Jeżeli ciało przebędzie drogę Δr po prostej lub "na około" to praca będzie taka sama. Takie pole w którym praca nie zależy od drogi, a jedynie od położenia początkowego i końcowego ciała nazywamy polem zachowawczym.

 

Energia potencjalna w polu grawitacyjnym


W poprzednich tematach liczyliśmy energię potencjalną ciała znajdującego się na pewnej wysokości, ale stosunkowo blisko powierzchni Ziemi. W takiej sytuacji siłę działająca na ciało można uznać za stałą (nie zmieniającą się wraz z wysokością). Jeżeli jednak rozpatrujemy duże wysokości, to już nie możemy tak uprościć rozważań. Siła zmienia się wraz z wysokością, więc i energię potencjalną musimy liczyć w inny sposób.

Wiemy, że energia równa jest wykonanej pracy nad ciałem. Jeżeli wykonamy taką pracę i przemieścimy ciało z miejsca gdzie nie ma ono energii potencjalnej do miejsca gdzie tę energię ma, to praca jaką wykonamy będzie równa tej energii. Zastanówmy się gdzie w przestrzeni ciało nie ma energii potencjalnej? Jeżeli oddalimy ciało od źródła pola grawitacyjnego tak dlatego, że nie będzie na niego działała żadna siła ze strony tego źródła to w tym miejscu nie będzie to ciało mieć energii potencjalnej.

Przenieśmy więc ciało z bardzo daleka (z nieskończoności) do punktu oddalonego o r od źródła pola grawitacyjnego. Ciało to będzie się zbliżać do źródła. Pamiętamy z poprzedniego paragrafu, że jeżeli ciało opuszczamy (zbliżamy do źródła) to praca jaką wykonujemy ma wartość ujemną. Więc nasza energia potencjalna będzie miała wartość ujemną:

 

 

Energia potencjalna jest więc ujemna. A oznacza to, że prace wykonuje siła przyciągania, a nie jak w poprzednich przypadkach siła która równoważyła siłę przyciągania.

Potencjał grawitacyjny


Omówiliśmy już taką wielkość jak natężenie pola grawitacyjnego, która mówi nam jak silne jest pole wytworzone przez dane źródło. Wartość natężenia informowała nas o sile jaka zadziała na jednostkową masę (np. 1 kg) umieszczoną w danym punkcie pola. Jest jeszcze inna wielkość fizyczna która charakteryzuje pole grawitacyjne. Jest nią potencjał grawitacyjny. Ta wielkość informuje nas jaka będzie energia potencjalna ciała o jednostkowej masie (np. 1 kg) umieszczonego w danym punkcie tego pola. Potencjał wyraża się wzorem:

 

 

Sprawdźmy od czego zależy potencjał grawitacyjny. W tym celu rozwińmy nasz wzór:

 

Jak widać potencjał nie zależy od masy ciała umieszczonego w polu grawitacyjnym, lecz od masy źródła i odległości od niego.

Znając potencjał grawitacyjny w punktach A i B łatwo możemy obliczyć pracę jaką należy wykonać by ciało o masie "m" przemieścić z jednego punktu do drugiego:

 

 

Pierwsza prędkość kosmiczna


W XX w. nastąpił wielki przełom w dziejach ludzkości. Otóż udało się człowiekowi opuścić Ziemię i udać się do kosmosu. Lecz takie czynności stwarzają nowe zadania dla fizyków. Potrzebne stało się liczenie jakie prędkości należy nadać rakiecie żeby wystartowała i wyniosła statek na orbitę, albo by dolecieć do Księżyca. Jedna z takich charakterystycznych prędkości została nazwana pierwszą prędkością kosmiczną i mówi nam jak szybko musi poruszać się ciało, by mogło lotem bezsilnikowym okrążyć Ziemię po orbicie tuż przy jej powierzchni. Jest to najmniejsza możliwa prędkość jaką może mieć sztuczny satelita Ziemi. Ale w rzeczywistości satelity znajdują się dużo wyżej nad powierzchnią ok. 160 km nad Ziemią, bo poniżej tej wysokości występują opory powietrza.

Siła ciężkości jaka działa na ciało musi być zrównoważona. W nieinercjalnym układzie odniesienia tą równoważącą siłą jest odśrodkowa siła bezwładności więc:

 

 

Gdzie MZ i RZ to masa i promień Ziemi. Jeżeli ze wzoru na natężenie pola grawitacyjnego wyliczymy G to otrzymamy:

 

Tę wartość możemy teraz podstawić do wzoru na pierwszą prędkość kosmiczną. Skorzystajmy jeszcze z własności natężenia pola grawitacyjnego która mówi, że jest ma ona taką samą wartość jak przyśpieszenie grawitacyjne (przy powierzchni ziemi równe "g").

 

 

 

Druga prędkość kosmiczna


Ta prędkość informuje nas jak musimy rozpędzić statek kosmiczny aby opuścił pole grawitacyjne Ziemi i udał się w nieskończoność.

Jeżeli ciało zostanie wyrzucone z Ziemi z prędkością większą od pierwszej a mniejszą od drugiej prędkości kosmicznej to jej ruch będzie następujący: statek poruszać się będzie w przestrzeń kosmiczną z prędkością coraz mniejszą, aż do momentu gdy siły grawitacyjne Ziemi zatrzymają ten statek. Następnie te siły nadadzą przyśpieszenie skierowane w stronę Ziemi i w ten sposób statek zawróci. Tor po jakim będzie się poruszał będzie elipsą.

Jeżeli zaś statek wyrzucimy z Ziemi z drugą prędkością kosmiczną to siły grawitacyjne będą powodować zmniejszenie prędkości statku a w nieskończoności go zatrzymają, lecz nie zdołają go zawrócić. Jeżeli prędkość początkowa będzie choć trochę większa od drugiej prędkości kosmicznej to ciało nie zatrzyma się.

Wyliczając drugą prędkość kosmiczną posłużymy się własnością, że całkowita energia mechaniczna ciała w nieskończoności równa jest zeru. Energia kinetyczna równa jest zeru ponieważ ciało się w nieskończoności zatrzyma. Także energia potencjalna będzie równa zero, co wynika bezpośrednio ze wzoru.

Na początku energia statku wynosi:

W nieskończoności:

Łatwo zauważyć że:

 

PRAWA KEPLERA

 

Pierwsze prawo Keplera


Planety krążą po orbitach eliptycznych, a jednym z ognisk elipsy jest Słońce

Drugie prawo Keplera


Pola powierzchni wycinków elipsy zakreślone przez promień wodzący planety w jednakowych przedziałach czasu są jednakowe.

Prawo to obrazuje rysunek:

Zgodnie z II prawem Keplera, zaznaczone na szaro pola są równe. Wynika z tego, że prędkość V2jest mniejsza niż V1

 

Trzecie prawo Keplera


Dla każdej planety Układu Słonecznego stosunek sześcianu średniej odległości od Słońca do kwadratu okresu obiegu wokół tej gwiazdy jest stały.

Brzmi to może troszeczkę skomplikowanie, ale myślę, że wszystko wyjaśni się, jeśli to prawo wyprowadzimy.
Rozpatrujemy planetę, która porusza się w polu grawitacyjnym Słońca: m - masa tej planety
M - masa Słońca
r - odległość tej planety od Słońca
T - okres obiegu planety wokół Słońca
zakładamy, ze planeta porusza się po okręgu, zatem siła dośrodkowa jest równa sile oddziaływania grawitacyjnego między tymi planetami:

Z ruchu po okręgu możemy obliczyć prędkość:

Otrzymaliśmy więc III prawo Keplera ponieważ G,M są stałe, zatem stosunek sześcianu promienia do kwadratu okresu obiegu jest stały. Jest to tak zwane nieuogólnione III prawo Keplera.

Teraz zagadnienie nico trudniejsze, wyprowadzimy uogólnione III prawo Keplera. Będzie tu trochę więcej matematycznych przekształceń i kilka ciekawych pojęć fizycznych.
Zakładamy, że planeta o masie m i gwiazda o masie M krążą wokół ich wspólnego środka masy O tak jak na rysunku:

a = a1 + a2 - odległość między planetą, a gwiazdą
v1 - prędkość liniowa gwiazdy
v2 - prędkość liniowa planety
T - okres obiegu planet wokół ich wspólnego środka masy.

Wiemy, że w obudwu przypadkach siła dośrodkowa jest równa sile grawitacji, prędkość można wyznaczyć z ruchu po okręgu, a plantey poruszają się po orbitach o promianiach a1 i a2:

 

Po odpowiednim podstawieniu i skróceniu otrzymujemy układ równań, który następnie dodajemy stronami:

Po odpowiednim przekształceniu otrzymujemy III prawo Keplera uogólnione

Z uogólnionego III prawa Keplera bardzo łatwo wyprowadzić prawo nieuogólnione, wystarczy zapisać uogólnione prawo dla 2 planet, a następnie podzielić stronami. Następnie założyć, że masy planet względem masy Słońca są pomijalnie małe i otrzymać: