DYNAMIKA

Zasady dynamiki Newtona – wstęp

Zestaw trzech zasad dynamiki, podany przez angielskiego fizyka Izaaka Newtona był odkryciem o niezwykłym znaczeniu dla rozwoju całej ludzkości. Właściwie trudno jest znaleźć jakikolwiek inny wynalazek, teorię, wydarzenie o porównywalnym znaczeniu. Dzięki tym prostym trzem zasadom powstała niemal cała klasyczna mechanika i technika - a w konsekwencji cały wspaniały świat w jakim żyjemy aktualnie. Bo właśnie dzięki nim większość zjawisk z obserwowanego wokół nas świata stało się wreszcie zrozumiała.

Zasady dynamiki są trzy, jednak trudno mówić o nich oddzielnie. Żadna z nich nie ma sensu, gdyby ją rozpatrywać osobno. To, że zostały tak „ponumerowane” wcale nie oznacza, że powinno się ich uczyć po kolei. W rzeczywistości I i II zasada są pewną całością i powinny być rozpatrywane razem, a III zasada jest pewnym dodatkiem, który ukazuje głębszy sens pojęcia siły oraz daje wskazówki jak stosować II zasadę w większości sytuacji.

Zasady dynamiki posługują się pojęciem siły. Pojęcie to jest kluczem do wszystkich trzech zasad. Lub inaczej - można by powiedzieć, że zastosowanie tego pojęcia jest osią wokół której kręci się cała konstrukcja. Trudna konstrukcja. Bo pełne zrozumienie zasad dynamiki Newtona jest naprawdę trudne. Ktoś, komu się to uda w pełni może uważać się za osobę o dużej inteligencji i wyobraźni. 

Zasady dynamiki zostały podane po raz pierwszy w największym dziele Izaaka Newtona - słynnym Philosophiae naturalis principia mathematica ("Matematyczne podstawy filozofii przyrody") opublikowanym w roku 1687. 

Dzięki sformułowaniu owych 3 zasad powstała nowoczesna fizyka. Nagle okazało się, że prawie wszystko co nas otacza daje się sprowadzić do pewnych uniwersalnych praw, daje się zrozumieć. Bez przesady można powiedzieć, że Newton jest w pewnym sensie twórcą dzisiejszego kształtu europejskiej cywilizacji.

PĘD, CZYLI ILOŚĆ RUCHU

Pęd – wprowadzenie

Pęd jest wielkością stosowaną do opisu ciał w ruchu. Można by rozumieć jako coś w rodzaju "ilości" ruchu lub "siły" ruchu. Zależy on od prędkości i masy ciała. 

Wszędzie tam gdzie jedno ciało uderza w drugie, lub jedno ciało dzieli się w ruchu na dwa mniejsze, istotną rolę grają przemiany pędu. W szczególności:

Pęd jest ważną wielkością do opisu zderzeń ciał

Wzór na pęd

Pęd definiujemy jako iloczyn masy i prędkości ciała.

Pęd jest wielkością wektorową.
Kierunek i zwrot wektora pędu jest taki sam jak kierunek i zwrot wektora prędkości.

Jednostka pędu

Jednostką pędu w układzie SI jest: kilogram razy metr na sekundę.

[p] = kg • m/s

Zasada zachowania pędu

Jeżeli na jakiś układ ciał nie działają siły (oddziaływania) zewnętrzne, wtedy układ ten ma stały pęd.

Doświadczenie uczy nas, że jeżeli mamy dwie identyczne kule i jedna z nich jest w spoczynku a druga porusza się z prędkością V, to po zderzeniu kula która znajdowała się w spoczynku zacznie poruszać się z prędkością V natomiast kula która poruszała się przed zderzeniem zatrzyma się. Jeżeli natomiast obie kule poruszają się z prędkością V i nastąpi czołowe zderzenie tych kul to obie kule odbiją się i będą podążały "z powrotem".

Mamy tu do czynienia z zasadą zachowania pędu. Zasada ta jest spełniona jeżeli bierzemy pod uwagę

układ odosobniony, tzn. taki w którym nie działają żadne niezrównoważone siły zewnętrzne. Zasada zachowania pędu jest istotna także ze względu na to, że (przeciwnie do zasad dynamiki Newtona) jest prawidłowa także w mechanice relatywistycznej, czyli dla ciał poruszających się z prędkością porównywalną z prędkością światła.

W naszych przykładach układem ciał były dwie kule. Całkowity pędu układu pozostaje bez zmian. Pęd układu to iloczyn prędkości i środka masy układu. Można także wyliczyć pęd układu sumując pędy wszystkich ciał w tym układzie:

jeżeli F = 0, to p = const

Lub jeszcze inaczej:

Zmienić pęd układu może tylko siła działająca z zewnątrz układu.

UKŁADY ODNIESIENIA

Układ jaki występuje w przypadku obserwatora A (a także w pierwszej części doświadczenia układ związany z obserwatorem B) nazywa się inercjalnym układem odniesienia.

Układ jaki występuje w drugiej części doświadczenia związany z obserwatorem B nazywamy nieinercjalnym układem odniesienia.

I zasada dynamiki

I zasada dynamiki może być (jest) formułowana na kilka sposobów. Najczęściej ma ona postać:

Jeżeli na ciało nie działają siły zewnętrzne, lub działające siły równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku, lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

To sformułowanie (zaproponowane jeszcze przez Newtona) nie jest najszczęśliwsze, bo w pewien sposób "ukrywa" istotny sens I zasady dynamiki i może prowadzić do błędnych wniosków.

Bardziej poprawnym sformułowaniem jest:

Istnieje taki układ odniesienia, w którym – jeżeli na ciało działają siły zewnętrzne, lub działające siły równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

II zasada dynamiki Newtona

Treść drugiej zasady dynamiki brzmi:

Przyspieszenie jakie nadaje niezrównoważona siła F  ciału o masie m jest wprost proporcjonalne do tej siły, a odwrotnie proporcjonalne do masy ciała.

Ponieważ zarówno przyspieszenie jak i prędkość są wielkościami wektorowymi, to precyzyjniej byłoby przedstawić II zasadę dynamiki w postaci wzoru ze strzałkami nad symbolem siły i symbolem przyspieszenia.

Ta postać wzoru na II zasadę dynamiki mówi nam, nie tylko o samej wartości przyspieszenia, ale też o kierunku i zwrocie:

Kierunek i zwrot wektora przyspieszenia jest taki sam jak kierunek i zwrot wektora siły.

III zasada dynamiki Newtona

Trzecia zasada dynamiki mówi o wzajemności oddziaływań. Jest ona często nazywana zasadą akcji i reakcji. 

Sformułowanie III zasady dynamiki:

Jeżeli ciało A działa na ciało B z siłą F_AB, to ciało B działa na ciało A z siłą F_BA, o takim samym kierunku i wartości jak F_AB, ale przeciwnym zwrocie.

Zapisujemy to  wzorem:

Siła – wstęp

Do tego, aby w jakiejś sytuacji można było mówić o sile, musimy mieć: 

·   przynajmniej dwa ciała

·   pomiędzy tymi ciałami musi istnieć oddziaływanie

Oddziaływania mogą być różne i w związku z tym siły z nimi związane też są różne - np. 

·   siły elektryczne

·   siły magnetyczne

·   siły grawitacyjne

·   siły sprężyste

·   siła tarcia

·   siła nacisku

·   siła ciężkości

·   siła wyporu

·   i inne...

Oddziaływania powodują, że jedne ciała mogą wpływać na inne ciała (i nawzajem, ponieważ nie można wpływać na coś bez doznawania reakcji z tego powodu - więcej informacji na ten temat jest w rozdziale III zasada dynamiki Newtona).

Siła zmienia stan ruchu ciała

Siła jest wielkością która zmienia stan ruchu ciała (a więc zmienia pęd i prędkość). Możemy to zaobserwować wtedy, gdy ciało jest nie przymocowane i może się poruszać pod wpływem siły.
Jak z powyższego stwierdzenia wynika, aby siłę rozpoznać, trzeba zaobserwować jakąś modyfikację:

·   kierunku prędkości, 
ew.

·   wartości prędkości. 

Bez siły

- prędkość pozostaje niezmienna - czyli ciało:

1.      pozostaje w spoczynku (jeśli wcześniej w tym spoczynku było)
   lub

2.      zachowuje swój poprzedni ruch (jeśli już wcześniej w ruchu było), czyli będzie poruszało się ruchem jednostajnym prostoliniowym (więcej informacji - patrz I zasada dynamiki Newtona).

3.       

gdy na ciało zaczyna działać niezrównoważona siła.
- ciało zmieni swój stan ruchu - zacznie przyspieszać, zwalniać, ew. zmieniać kierunek ruchu.

Różniczkowa forma definicji siły  
(materiał dla mat-fiz liceum i studentów szkół wyższych)

Wzór 

F = m a

definiuje siłę średnią. Jednak w większości problemów posługiwanie się siłą średnią jest nieprecyzyjne. Dlatego w poważnych zastosowaniach używa się pojęcia siły chwilowej. I tę właśnie siłę chwilową traktuje się jak definicję podstawową.

Siła chwilowa jest równa iloczynowi masy i przyspieszenia chwilowego:

Co można zapisać też jako:

Można też zdefiniować chwilową wartość siły w oparciu o pęd:

Wszystkie te definicje można też przedstawić w postaci różniczkowej:

Jednostka siły

Niuton

Siłę najczęściej wyraża się w niutonach - N. 

1 N = 1 kg ∙ m/s²

Jeden niuton jest to siła, która jednemu kilogramowi nadaje przyspieszenie o wartości 1 m/s².

Stara jednostka siły - kilogram siła

Nieraz jeszcze można spotkać starą jednostkę siły - tzw. "kilogram siła" (1kG - "G" jest tu pisane dużymi litrami). Z definicji miała to być siła, równa ciężarowi ciała o masie 1 kg. 

Łatwo stąd wywnioskować, że:

1 kG ≈ 9,81 N

Kilogram siła był z jednej strony dość wygodny, bo wiązał się z dobrze znaną masą 1 kg, ale z drugiej strony bardzo mylący, bo utożsamiał siłę z masą, mimo że są to wyraźnie różne wielkości.

Jeszcze jedną starą jednostką siły jest dyna. 

1 dyna = 1 kg ∙ cm/s²

A ponieważ 1 m = 100 cm, więc :

1N = 100 dyn.

Dyna nie ma wady kilograma siły (nie myli się z masą) jednak jest już właściwie wyłącznie historyczną jednostką związaną z rzadko dziś używanym systemem jednostek CGS (oparty na jednostkach podstawowych Centymetr, Gram, Sekunda).

Dynamika ruchu "jednostajnego" po okręgu

Kiedy mówiliśmy o ruchu "jednostajnym" po okręgu poruszyliśmy problem przyśpieszenia dośrodkowego. Jak wiemy jeżeli istnieje przyśpieszenie to musi i istnieć siła. Ale w zależności od wyboru układu odniesienia są to inne siły.

W układzie inercjalnym (związanym np. ze środkiem okręgu po którym porusza się punkt materialny) istnieją siły: dośrodkowa (akcji) oraz odśrodkowa (reakcji).

Siła dośrodkowa jest przyczyną powstania przyśpieszenia dośrodkowego i wyraża się kilkoma równoważnymi wzorami:

Siła ta utrzymuje ciało w ruchu po okręgu. Np. jeżeli mamy zawieszony kamyk na lince i zaczniemy nim kręcić tak by poruszał się po okręgu to siłą dośrodkową będzie siła napięcia linki. Siła dośrodkowa jest zawsze skierowana zgodnie z promieniem okręgu, czyli z wektorem prędkości liniowej tworzy kąt prosty (wektor prędkości jest styczny do toru ruchu, czyli w tym przypadku styczny do okręgu, wiemy też że jeżeli wektor jest styczny do okręgu to jest prostopadły do promienia tego okręgu).

Siła odśrodkowa

Jeżeli istnieje siła dośrodkowa to zgodnie z "III zasadą dynamiki" musi istnieć jakaś reakcja, czyli w tym przypadku jest to siła odśrodkowa. W naszym przykładzie będzie to siła która działa na rękę osoby trzymającej linkę. Wektor tej siły także jest skierowany w kierunku promienia, a jego zwrot jest przeciwny do zwrotu siły dośrodkowej. Siły te jak wynika z "III z.d." nie równoważą się bo są zaczepione do innych ciał.

W nieinercjalnym układzie odniesienia istnieją inne siły: siła odśrodkowa bezwładności, oraz siła utrzymująca ciało w spoczynku.

Siła odśrodkowa bezwładności

Chyba każdemu zdarzyła się sytuacja podczas jazdy autobusem, że autobus nagle skręcił, a my żeby nie przewrócić się musieliśmy się mocno czegoś trzymać. Taka sytuacja jest dobrym przykładem działaniem siły odśrodkowej bezwładności (poruszamy się wraz z autobusem, więc układ względem którego opisujemy ruch jest nieinercjalny). Jeżeli autobus zakręca (lub porusza się po okręgu), na pasażerów działa siła odśrodkowa bezwładności, skierowana zgodnie z kierunkiem promienia, ale ma zwrot zwrócony na zewnątrz okręgu. Większość pasażerów w takim przypadku trzyma się mocno jakiegoś uchwytu dzięki czemu może pozostać w spoczynku względem autobusu, czyli mówiąc inaczej nie przewrócić się. Dzięki temu, że trzymamy się stałego uchwytu, na naszą rękę, a w konsekwencji na nas, działa siła utrzymująca nas w spoczynku. Siła utrzymująca nas w spoczynku w nieinercjalnym układzie odniesienia jest identyczna z siłą dośrodkową w inercjalnym układzie odniesienia.

Siła odśrodkowa bezwładności jest siłą pozorną, dlatego mówimy o niej tylko w przypadku nieinercjalnego układu odniesienia.

Tarcie

Archimedes twierdził, że ruch nie może istnieć bez działającej siły. Dzisiaj wiemy, że się mylił. Ale proste doświadczenia pozornie potwierdzają jego teorię. Każde ciało np. piłeczka wprawione w ruch po jakimś czasie zatrzymuje się. A jeżeli chcemy by ciało nie zatrzymywało się musimy działać na nie siłą cały czas. Jednakże w swoich rozważaniach Archimedes, a także inni uczeni do czasów Galileusza, popełniał ważny błąd. Otóż nie brał pod uwagę wszystkich działających sił na ciało. Dzisiaj wiemy, że jeżeli naszą piłeczkę wprawimy w ruch to nie możemy powiedzieć, że nie działają na nią żadne niezrównoważone siły, bo działa na nią siła tarcia, która jest przyczyną opóźnienia, a w konsekwencji zatrzymania się piłeczki. Dopiero gdy będziemy działać na piłeczkę stałą siłą równoważącą tarcie, na piłeczkę nie będą działać niezrównoważone siły i poruszać się będzie ruchem jednostajnym.

Tarcie jest jednym z rodzajów oporów ruchu. Tutaj zajmiemy się tylko tarciem statycznym i kinetycznym. Przyczyną tarcia są najczęściej nierówności powierzchni trących. Nawet bardzo gładka powierzchnia posiada jakieś nierówności.

Z doświadczeń wynika, że tarcie (T) jest wprost proporcjonalne do nacisku ciała na podłoże. By wprowadzić znak równości między tarciem a naciskiem w równaniu wprowadza się tzw. współczynnik tarcia (f):

W przypadku gdy ciało porusza się po poziomym torze nacisk jest siłą równą:

Współczynnik tarcia jest wielkością zależną od materiałów z których zbudowane są powierzchnie trące. Inne bowiem jest tarcie jeżeli przesuwamy drewnianą skrzynię na asfalcie, a inny gdy tę skrzynie przesuwamy po lodzie.

Dla każdych powierzchni istnieją dwa współczynniki tarcia. Jedno zwane kinetycznym, a drugie statycznym. Współczynnika kinetycznego używamy do obliczenia wartości siły tarcia, która oddziaływuje na poruszający się obiekt. Tarcie jest siłą, więc jest to wektor skierowany równolegle do wektora prędkości i zwrócony przeciwnie do niego.

Drugim rodzajem tarcia jest tarcie statyczne. Współczynnik tarcia statycznego służy nam do obliczenia maksymalnej wartości tarcia statycznego. Nazwijmy to tarcie T_s-max. Jeżeli na ciało, które znajduje się w spoczynku zadziałamy siłą F₁ taką, że: to ciało pozostanie w spoczynku, a realne tarcie będzie równe F₁. Natomiast jeżeli na ciało zadziałamy siłą F₂ taką, że , to ciało zostanie wytrącone ze stanu spoczynku, czyli zacznie się poruszać.

Zawsze współczynnik tarcia statycznego jest większy od współczynnika tarcia kinetycznego. Oznacza to, że trudniej jest wprawić ciało w ruch, niż utrzymać je w ruchu jednostajnym prostoliniowym.

SILY DZIAŁAJACE NA CIAŁO

Jeśli ciało spoczywa na równi to na pewno naciska na nią siłą prostopadłą do niej (jest to siła, której punkt przyłożenia znajduje się w równi). Z trzeciej zasady dynamiki wynika, że równia przykłada do ciała siłę  (o takiej samej wartości lecz przeciwnie zwróconą). Siła zsuwająca, powodująca ruch ciała (s) nie jest składową ciężaru wzdłuż równi, lecz jest wypadkową działających na ciało sił reakcjii ciężaru  Siła jest przyłożona do równi. Jest niezrównoważona i powoduje tylko odkształcenie podłoża.

Inercjalny układ odniesienia                               Nieinercjalny układ odniesienia

Inercjalny układ odniesienia                               Nieinercjalny układ odniesienia

Względem inercjalnego układu odniesienia istnieje wypadkowa siła.

Jest to siła dośrodkowa d.

Względem nieinercjalnego układu odniesienia wszystkie siły wzajemnie się równoważą. Tu pojawia się siła bezwładności odśrodkowa.

Gdy winda porusza się w górę z przyspieszeniem , to :

Inercjalny układ odniesienia                               Nieinercjalny układ odniesienia